QUATERNION LÀ GÌ

     

Video: Going Beyond 2 chiều with SpriteKit 2022, bao gồm Thể

Video: Going Beyond 2d with SpriteKit 2022, gồm Thể
*

Không bị lạc trong không khí sâu: đọc Quaternions

Quaternions là toán tử được sử dụng để xoay và kéo dãn vectơ. Bài viết này hỗ trợ một ánh nhìn tổng quan tiền để cung ứng trong việc tìm hiểu nhu ước về quaternions trong các ứng dụng như điều hướng không gian.

Bạn đang xem: Quaternion là gì

Định vị thiết yếu xác, dịch rời và luân phiên các đối tượng trong không gian hoàn toàn có thể được triển khai theo nhiều phương pháp khác nhau. Các cuộn, sân với yaw hình hình ảnh quen nằm trong và dễ nắm bắt hơn bị số lượng giới hạn và nên được thay thế trong một vài trường hợp nhất quyết với quaternion mạnh dạn hơn. Khi địa chỉ và hướng của sự chuyển đổi đối tượng, một sản phẩm toán học tập được hotline là quaternion được sử dụng để xoay và chia xác suất vectơ gốc.

Các đối tượng người tiêu dùng trong một không gian ba chiều hoàn toàn có thể được để trong một hệ tọa độ với bố số mở rộng từ nơi bắt đầu của hệ tọa độ đến một điểm trong không gian, tạo thành một vị trí $$ textbf r = (x, y, z) $$ vector. Nếu vị trí của vật thể cụ đổi, véc-tơ sẽ tại một vị trí bắt đầu và chắc hẳn rằng có chiều lâu năm mới. Bọn họ cần một cách để đo lường hoặc tính toán các biến hóa giữa hai vectơ.

Vấn đề với Roll, Pitch và Yaw

Hầu hết các độc giả rất có thể nhận thức được rằng những vật thể luân phiên qua ko gian rất có thể được tế bào tả bởi góc xoay của chúng dọc theo tía trục. Ngẫu nhiên phép quay như thế nào trong ko gian có thể được tế bào tả bởi sự phối hợp của những phép con quay này.

*
Gimbals trên cung cấp chuyển động yaw, cuộn với sân. Hình hình ảnh tín dụng: Mark Hughes (được triển khai với Mathematica)

Các trục quay chưa phải lúc như thế nào cũng chủ quyền và các phương án không đề xuất lúc nào cũng độc đáo. Có thể cho máy cất cánh của nhị gimbals để chuẩn bị xếp, với một đk được hotline là khóa gimbal xảy ra. Vào khóa gimbal, hai trong cha gimbal song song hoặc sát như tuy nhiên song, và bắt đầu bằng bố bậc thoải mái (yaw, pitch, & roll) giảm đi hai bậc tự do - nhì trục quay có thể mô tả cùng một hoạt động quay. Đồng thời, một nấc độ tự do thoải mái bị mất và tin tức đó biến chuyển mất. Lúc khóa gimbal xảy ra, ko thể kim chỉ nan lại những trục mà không tồn tại tham chiếu mặt ngoài.

*
Khi vòng tròn blue color lá cây được căn chỉnh hoặc sát thẳng hàng với vòng tròn màu đỏ, các hoạt động của vòng tròn màu đỏ và hình tròn màu xanh da trời trùng khớp cùng "gimbal-lock" xuất hiện. Tín dụng thanh toán hình ảnh: Mark Hughes.

Bạn có thể nhớ vẫn nghe tự khóa gimbal từ bộ phim truyền hình về sứ mệnh Apollo 13. Đã gồm khóa gimbal xảy ra sau vụ nổ, đơn vị đo cửa hàng tính của những phi hành gia đã mất vệt vị trí của mình trong thiên cầu, tác động xấu cho tình trạng tuyệt vọng của họ.

Bây giờ đồng hồ để xem xét toán học đằng sau khóa gimbal.

*** lưu ý cho tất cả những người đọc: Để duy trì khả năng hiểu trên các thiết bị nhỏ, tất cả các trường đúng theo cos (x) sẽ được sửa chữa thay thế bằng C x và toàn bộ các phiên phiên bản của sin (x) được sửa chữa bằng S x . Bạn cũng có thể xem các phương trình đầy đủ bằng phương pháp nhấp vào hình ảnh.

Xoay một vector $$ textbf r = (x, y, z) $$ bao phủ một trục đối chọi yêu ước một ma trận xoay vòng. Gimbal cha trục hiển thị nghỉ ngơi trên có bố trục khớp ứng với bố ma trận quay.

*
*
*
Hiển thị sinh sống trên: luân chuyển trục x bao phủ góc γ, xoay trục y xung quanh góc β và xoay vòng trục z bao phủ góc α.
*
Hiển thị ở trên là tía ma trận biến đổi 3 × 3 riêng biệt. (Một phép đổi khác z- yz xung quanh các góc α, β, γ)

Về khía cạnh toán học, ma trận chuyển phiên 3 × 3 là sản phẩm của bố phép quay tuần tự.

*
Ma trận 3 × 3, khi nhân lên liên tiếp, dẫn đến một ma trận 3 × 3 đơn. Hiển thị làm việc trên là luân phiên vòng zyz xung quanh các góc α, β, γ

Nhiều ma trận thay đổi tồn tại cùng chúng hoàn toàn có thể được áp dụng theo rất nhiều thứ tự khác nhau. 12 chuỗi xoay hoàn toàn có thể được chia thành hai loại: Góc Euler phù hợp hợp, trong các số đó một trục cù được tái diễn (các góc xzx, xyx, yxy, yzy, zyz, zxz) cùng Tait-Bryan chuyển phiên quanh tất cả các trục (xzy, xyz, yxz, yzx, zyx, zxy).

Tôi đã tự ý lựa chọn ma trận thay đổi zyx để làm việc với các ví dụ bên dưới.

*
Trên đó là ma trận chuyển đổi xoay vòng zyx xung quanh α, β, γ

Khóa Gimbal trở nên cụ thể về mặt toán học trong ma trận lấy một ví dụ của cửa hàng chúng tôi khi $$ beta = frac pi 2 $$ được sửa chữa thành ma trận biến hóa zyx (các ma trận chuyển đổi khác không thành công với các điều kiện không giống nhau). Theo góc $$ beta cho frac pi 2 $$, $$ Cos ( beta) đến 0 $$ với $$ Sin ( beta) mang đến 1 $$. Bạn có thể thấy dưới hiệu ứng dễ dàng và đơn giản hóa bao gồm trên ma trận.

*
Trên đây, thay thế $$ frac pi 2 $$ thành $$ Sin ( beta) $$ với $$ Cos ( beta) $$.
*
Khi β được renamlinhchihoasen.comw tại hoặc ngay sát $$ frac pi 2 $$, $$ Cos ( frac pi 2) $$ khiến cho một số mục trong ma trận chuyển mang lại không.

Trong lấy ví dụ trên, sửa chữa thay thế $$ beta = frac pi 2 $$ cùng $$ Cos ( frac pi 2) = 1 $$ vào ma trận gốc thải trừ một số thuật ngữ.

Một phương pháp khác giúp thấy xét vấn đề là mang ma trận chuyển đổi thuở đầu (tôi lại lựa chọn zyx) cùng sử dụng những định lượng lượng giác để mang các thay đổi lại cùng với nhau bên trong hàm lượng giác. để ý đến sự phụ thuộc lẫn nhau ban đầu của những góc.

*
ma trận biến hóa zyx roll-pitch-yaw với các định lượng lượng giác được vận dụng để hiển thị sự phụ thuộc lẫn nhau của các biến α, β, γ

Sau khi thay thế, mối quan hệ duy duy nhất giữa những góc tồn tại là $$ alpha + gamma $$.

*
Biến duy nhất lúc này có thể thay đổi là $$ alpha + gamma $$ (với $$ beta = frac pi 2 $$).

Bằng cách thay thế $$ beta = frac pi 2 $$, chúng tôi đã xóa toàn bộ các trường phù hợp $$ alpha- gamma $$, hi sinh một cường độ tự do.

Trong khi dễ dàng hình dung cuộn, pitch với yaw, nếu bạn đang xây dựng một hệ thống có thể tự vì chưng trỏ theo bất kỳ hướng như thế nào trong ko gian, cuối cùng các bạn sẽ gặp bắt buộc khóa gimbal.

Nhập Quaternions

William Hamilton sáng tạo ra quaternions vào năm 1843 như thể một phương thức để chất nhận được anh ta nhân và phân tách vectơ, chuyển phiên và kéo dãn chúng.

Xem thêm: So Sánh Cách Mạng Tư Sản Kiểu Cũ Và Mới, Thế Nào Là Cách Mạng Dân Chủ Tư Sản Kiểu Mới

Những gì tôi trình bày dưới đây được dự định để minh họa, tuy nhiên không có nghĩa là toán học nghiêm ngặt. Nó đã là đầy đủ để cho phép bạn đọc quaternions ở 1 mức độ renamlinhchihoasen.comws cho một khoa học laptop và thiết lập kỹ thuật. Nó không có nghĩa là đủ cho 1 lớp toán học. Nếu như bạn cần thêm thông tin chuyên sâu, những cuốn sách tiếp sau đây về chủ thể này được đề xuất bởi Đại học tập bang California, Fullerton, Giáo sư thứ lý với Toán học, tiến sỹ Alfonso Agnew:

Quaternions và Rotation Sequences: Một Primer với các ứng dụng mang đến Orbits, Aerospace với Virtual Reality (Kupiers)Clifford Algebras cùng Spinors (Lounesto)Hình dung Quaternions (Hanson)

Phát hiện nay của Hamilton là trong khi không tồn tại cách rõ ràng để nhân và phân chia hai bộ cha số, dẫn đến ba số (vectơ rất có thể đại diện cho 1 tọa độ), nó hoàn toàn có thể nhân và phân chia hai bộ bốn số với được vướng lại với tư số. Một quaternion biến đổi thương của hai cỗ bốn số và gồm một số vô hướng cùng một vectơ

*
*

Ở đâu

*
là số thực và
*
là đơn vị quaternion.

Hướng thân hai điểm ngẫu nhiên có thể được biểu diễn bằng tía số nằm đơn độc trong phạm vi (-1, 1) và có độ khủng tập thể là $$ (- 1 leq x leq 1, -1 leq y leq 1, -1 leq z leq 1) $$ và $$ sqrt x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 $$. Cùng rất nhau, tư số này tạo ra một quaternion mô tả luân chuyển và khoảng tầm cách.

*
Trong hình ảnh này, quaternion màu domain authority cam được áp dụng cho vector vị trí màu xanh da trời và hiệu quả trong vector địa điểm màu đỏ.

Quaternions cung cấp tin cần thiết nhằm xoay một vector chỉ với tứ số thay bởi vì chín quan trọng với một ma trận xoay.

Nếu chúng ta cảm thấy thoải mái và dễ chịu với cam kết hiệu toán học và ma trận, hãy triển khai bước nhảy đầm vọt đến toán học bậc bốn sau đây và bỏ qua việc xem xét những số phức cùng toán học ma trận trong nhì phần tiếp theo.

Số phức

Xem sách giáo khoa của AAC Tập 2 - Chương 2.

Các số phức được phát minh để cho phép các chiến thuật cho các vấn đề ko có phương án số thực. Những vấn đề về loại $$ x ^ 2 = -1 $$ ko có phương án cho đến lúc $$ sqrt -1 $$ được vạc minh. Các số phức có thể được tưởng tượng nằm xung quanh phẳng, cùng với phần thực của số được trình diễn dọc theo trục ngang cùng phần ảo của số được biểu thị dọc theo trục trực tiếp đứng. Trong tọa độ Descartes, bọn chúng thường được màn biểu diễn dưới dạng tương tự như $$ x + yi $$ hoặc $$ (x, y) $$. Hai số phức hoàn toàn có thể được cộng, trừ, nhân và chia.

Thêm vào:
*
Phép trừ:
*
Phép nhân:
*
Phân chia:
*
Xoay (không tất cả tỷ lệ):
*

Ví dụ theo hướng kim đồng hồ $$ frac pi 2 $$ (90 °) của $$ 2 + 3i $$ là: $$ (2 + 3i) (0 + i) = (2 times0) + ( 2 lần i) + (3i lần0) + (3i lần i) = (3 ( sqrt -1) ^ 2 + 2i) = (- 3 + 2i) $$

*

Số phức 2 + 3i được chuyển phiên $$ frac pi 2 $$ (90 °) bằng cách nhân cùng với 0 + 1i.

Euler đã cải cách và phát triển một phương thức để quay các số phức trong mặt phẳng cực tinh vi mà Hamilton xây dựng phát minh của mình.

*

Trong khi điều đó là xa một điều trị không thiếu thốn về nhà đề của những số phức, nó cung ứng một cách đệm về phía quaternions theo những cách sau:

Các số phức có thể được cộng, trừ, nhân và chia khá thuận tiện và không áp dụng lượng giác (mặc dù các số phức rất có thể được màn biểu diễn dưới dạng rất hoặc bị phân tách bóc từ dạng cực thành các phần thực với ảo cùng với cos cùng sin tương ứng).Nhân một vài phức với đơn vị ảo "i" tạo thành một cuộc biện pháp mạng quý. Giống như với quaternion, nhân hai đơn vị chức năng quaternion cùng với nhau đã dẫn mang đến một cuộc biện pháp mạng bao quanh trục vuông góc với hai trục ban đầu.

Toán trường đoản cú vựng với ma trận

Vô hướng

Một vô hướng là 1 số đại diện thay mặt cho địa điểm dọc theo một đồ sộ hoặc trục chung. Những biến vô hướng không tồn tại định dạng quan trọng nào được vận dụng cho chúng.

Vector

Một vectơ là một trong những danh sách những số trang bị tự được diễn tả vị trí dọc theo một tỷ lệ theo một hướng cụ thể. Nó được hình dung như một đường thẳng cùng với chiều dài với hướng. đổi thay vector được hiển thị bằng văn bản in đậm $$ textbf r $$ trong suốt nội dung bài viết này và đôi lúc có các mũi tên theo dõi ở khu vực khác trên trang web ($$ vec r $$) và trong một số văn bạn dạng nhất định. Vectơ hoàn toàn có thể có nhì hoặc đa số tử.

*
*

Nhiều vectơ được phân biệt bằng những tên biến chuyển khác nhau, hoặc bysubscripts.

*
hoặc là
*

Sản phẩm chéo

*

Sản phẩm Dot

*

Chiều dài

Chiều lâu năm của một vectơ là khoảng cách đường thẳng từ đầu đến cuối của nó. Về khía cạnh toán học, nó được biết căn bậc nhì của tổng bình phương của các phần tử riêng lẻ.

*

Ma trận

Ma trận là một trong những mảng các bộ phận riêng lẻ rất có thể được nhân với cùng 1 vectơ để chuyển đổi nó. Ma trận có thể dịch, xoay cùng vectơ tỷ lệ. Dưới đó là ma trận 3 × 3 chung

*

Ma trận M được áp dụng cho vectơ x

*

Ma trận quay

Ma trận xoay bao gồm thể biến hóa hướng mà vectơ trỏ, lý thuyết lại chúng trong không gian. Các ma trận sau xoay những vectơ bao quanh trục Descartes nhưng không cần mở rộng chúng.

*
*
*

Ma trận A nhân cùng với Ma trận B

*

Phần này là một renamlinhchihoasen.comw ngắn gọn về toán học vector với ma trận cùng được cung ứng như một sự tương phản bội với những quy tắc Quaternion bên dưới đây.

The Leap khổng lồ Quaternions

Như đang đề cập trước đó, quaternions gồm 1 vô hướng cùng một vectơ.

Vì cả nhì đại lượng cùng vectơ đều có mặt trong một quaternion, nên các quy tắc toán học được sử dụng để gia công việc với chúng là sự phối hợp của toán tử vô hướng với vectơ.

*

(Noncommutative) Quaternion Phép nhân

Kết quả nhân nhì quaternion là 1 quaternion mới.

*

Sản phẩm bên phía trong Quaternion

Sản phẩm phía bên trong quaternion là một vô hướng được search thấy bằng phương pháp nhân những hệ số thực tương ứng của nhị quaternion.

*

Quaternion Conjugate

Mỗi quaternion gồm một đối diện được tìm kiếm thấy bằng cách phủ nhận các hệ số của phần vectơ của quaternion mà thôi.

*

Quaternion Norm

Một quaternion buộc phải thường nằm dọc từ quả cầu đơn vị. Định nấc phải bởi 1. Ví như quaternion của doanh nghiệp đang trôi đi khỏi quả cầu 1-1 vị, bạn có thể chia từng phần tử của quaternion theo chuẩn chỉnh để quay trở lại quả cầu 1-1 vị.

Xem thêm: Nêu Các Đặc Điểm Chính Của Internet, Theo Em, Internet Có Những Đặc Điểm Gì

*

Quaternion để quay ma trận

*

Thông tin thêm về lịch sử vẻ vang Quaternions

Phương trình Maxwell trong chủng loại hiện tạiMax & Math: Phương trình Maxwell trong thời đại tương đối

Phần kết luận

Quaternions là 1 cách thay thế để tế bào tả lý thuyết hoặc tảo trong không gian 3D bằng cách sử dụng một cỗ bốn số vẫn đặt hàng. Chúng có chức năng mô tả duy nhất ngẫu nhiên phép quay ba chiều như thế nào về trục tùy ý và không trở nên khóa gimbal. Nếu như khách hàng có một ứng dụng mà một cảm ứng hoặc đối tượng có công dụng di chuyển bất kể nơi làm sao trong không khí 3D, chúng vượt trội hơn những góc Euler để theo dõi những đối tượng.